Учимся считать без бумаги и ручки

Три секрета, как упростить устный счет. Методы помогут детям и удивят родителей.  Доцент СПбГУ Елизавета Калинина и преподаватель Джереи Ли рассказываюто способе, позаимствованном у математика Якова Трахтенберга, а японские школьники показывают эффектный метод графического умножения.

Упрощаем умножение на 11 и 12

Елизавета Калинина пишет:
"Давайте рассмотрим, как Трахтенберг предлагает умножать числа на 11 и на 12. Что касается умножения на 11 двухзначных чисел, то способ этот мне был известен уже довольно давно, кстати, он приводится в книге И.Я. Депмана , Н.Я. Виленкина “За страницами учебника математики”. Записываем цифры результата справа налево. Первая цифра та же, что и у исходного числа. Далее добавляем к цифре ее соседа справа. Если сумма получается больше 10, то запоминаем число десятков, которое добавим к следующей сумме.

Примеры. Умножим 14 326 на 11:

(1+0)(1+4),(4+3)(3+2)(2+6)6=157 586.

Умножим 87 256 на 11:

(8+1)(8+7-10)(7+2),(2+5+1)(5+6-10)6=959 816.

Напишу подробнее, поскольку в этом примере, в отличие от предыдущего, приходится запоминать цифры. Итак, справа записываем самую правую цифру числа 87,256 – это 6. Двигаемся левее, туда мы должны записать 5+6=11 – тем самым, запоминаем 1, а 1 записываем. Следующая цифра – это 2+5 с добавлением той единички, которую запомнили, итого 8. Еще шаг влево: 7+2, записываем 9. Следующая цифра 8+7=15 – следовательно, записываем 5, а 1 запоминаем. Еще левее получаем 0+8+1=9. Десятичную запятую ставим, отсчитав 3 цифры справа. Вот и все. Достаточно легко. И получается метод этот довольно легко из того, что a x 11=a x 10 + a.

Умножение на 12 производится примерно так же. Каждую цифру числа удваиваем и прибавляем к результату соседа исходной цифры справа. Доказательство метода такое же, как и для умножения на 11.

Примеры. Умножим 346 на 12.

Начнем с самой правой цифры – это 6. Удвоим 6 и добавим соседа (его нет в данном случае). Получаем 12. Запишем 2 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре 4. Удвоим 4, получим 8, добавим соседа, 6, получим 14, прибавим 1, которую запоминали, получим 15. Запишем 5 и запомним 1.

Перейдем влево к следующей цифре, 3. Удвоим 3, получим 6. Добавим соседа, 4 и получим 10. Прибавим 1, которую запоминали, получим 11. Запишем 1 и запомним 1.

Перейдем влево к несуществующей цифре – нулю. Удвоим его, получим 0 и добавим соседа, 3, что даст нам 3. Наконец, добавим 1, которую запоминали, получим 4. Запишем 4.

Ответ: 4 152.

Еще один пример.

234567 x 12=(0 x 2+2)(2 x 2+3+1)(2 x 3+4+1-10)(2 x 4+5+1-10)(2 x 5+6+2-10)(2 x 6+7+1-20)(4) = 2 814 804.

Довольно быстро получается умножать числа, если немного потренироваться!

Джереи Ли для умножения двузначных чисел на 11 предлагает более визуально простой метод. Необходимо все действие произвести в скобках:

13 х 11 = 1 (1+3) 3 = 143
14 х 11 = 1 (1+4) 4 = 154
15 х 11 = 1 (1+5) 5 = 165
16 х 11 = 1  (1+6) 6 = 176
17 х 11 = 1 (1+7) 7= 187
18 х 11 = 1 (1+8) 8 = 198
19 х 11 = 1 (1+9) 9 = 209
20 х 11 = 2 (2+0) 0 = 220

Действительно, это просто. Попробуйте сами.

Немного сложнее работать с большими числами. Например, 84 умножить на 11. Но если вспомнить метод, описанных в первом примере (о "запоминание" десятков в голове, то окажется, что способ также прост):

84 х 11 = 8 (8+4) 4 = 8 (12) 4

Итак, что делать с возникшим в скобках двузначным числом? Оказывается, все становится очень легко, если вспомнить, что 12 = 10+2. Другими словами, 12 состоит из 10 (которое относится к десяткам), и 2 (оно относится к единичным).  Поэтому и получившееся 10 – всего лишь одна десятка, которую мы выносим за скобки и прибавляем к первой восьмерке. Поэтому получается так:

84 х 11 = 8 (8+4) 4 = 8 (12) 4 = 8+1 (2) 4 = 924

Тренируемся:

65 х 11 = 6 (6+5) 5 = 6 (11) 5 = 6+1 (1) 5 = 715
38 х 11 = 3 (3+8) 8 = 3 (11) 8 = 3+1 (1) 8 = 418

Приведенный ниже пример умножения потребует дольше времени для получения результата, чем при умножении в столбик. Однако визуальная составляющая делает способ по-настоящему привлекательным для использования.